Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），若函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f（x）的圖象：
（1）寫(xiě)出g（x）的解析式
（2）記F（x）=f（x）+g（x），討論F（x）的單調(diào)性
（3）若a＞1，x∈[0，1）時(shí)，總有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得函數(shù)f（x）=log_a（x+1）與函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而利用坐標(biāo)法，可得g（x）的解析式
（2）根據(jù)F（x）=f（x）+g（x），結(jié)合（1）的結(jié)論，求出F（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可分析出F（x）的單調(diào)性
（3）若a＞1，x∈[0，1）此時(shí)結(jié)合（2）的結(jié)論，可得函數(shù)為增函數(shù)，若F（x）=f（x）+g（x）≥m恒成立，僅須F（x）的最小值，大于等于m即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的任意一點(diǎn)
則P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-x，-y）
∵已知點(diǎn)Q在函數(shù)f（x）的圖象上
∴-y=f（-x），而f（x）=log_a（x+1）
∴-y=log_a（-x+1）
∴y=-log_a（-x+1）
而P（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)
∴y=g（x）=-log_a（-x+1）=-log_a（1-x）
（2）F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，
則函數(shù)F（x）=loga

1+x

1-x

的定義域?yàn)椋?1，1），
令h（x）=

1+x

1-x

，則h′（x）=

2

(1-x)2

，
∵當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，h′（x）≥0恒成立
故h（x）=

1+x

1-x

在（-1，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_at為減函數(shù)，此時(shí)F（x）=loga

1+x

1-x

為減函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_at為增函數(shù)，此時(shí)F（x）=loga

1+x

1-x

為增函數(shù)．
（3）由（2）得若a＞1
當(dāng)x∈[0.1）時(shí)，F(xiàn)（x）=loga

1+x

1-x

為增函數(shù)
此時(shí)F（x）_min=F（0）=log_a1=0
∴m≤0
∴所求m的取值范圍：m≤0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．