Question

4．已知圓C：（x-2）²+y²=4，線段EF在直線l：y=x+1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為線段EF上任意一點(diǎn)，若圓C上存在兩點(diǎn)A、B，使得∠APB≥120°，則線段EF長度的最大值是$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)圓的切線為PM，PN，則由由∠APB≥120°，得∠MPN≥120°，求得PC≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，結(jié)合題意點(diǎn)E、F到點(diǎn)C的距離等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．再利用勾股定理求得EF的最大值．

解答 解：由題意，圓心到直線l：y=x+1的距離為$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2（半徑），故直線l和圓相離．
從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)，∠APB才是最大的角，
不妨設(shè)切線為PM，PN，則由∠APB≥120°，得∠MPN≥120°．
∴sin∠MPC=$\frac{2}{PC}$≥sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴PC≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故在直線l上，當(dāng)EF最大時(shí)，點(diǎn)E、F到點(diǎn)C的距離等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故EF的長度的最大值為2$\sqrt{\frac{16}{3}-\frac{9}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．