Question

已知復數(shù)z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2．
（1）求復數(shù)z；
（2）設z，(

.

z

)2，z-z²在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積；
（3）若復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點位于第一象限，且復數(shù)m滿足|m-z|=1求|m|的最值．

Answer 1

分析：（1）設出復數(shù)的代數(shù)形式的式子，根據(jù)所給的模長和z²的虛部為2．得到關于復數(shù)實部和虛部的方程組，解方程組即可．
（2）寫出所給的三個復數(shù)的表示式，根據(jù)代數(shù)形式的表示式寫出復數(shù)對應的點的坐標，即得到三角形的三個頂點的坐標，求出三角形的面積．
（3）根據(jù)復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點位于第一象限，得到復數(shù)的對應的值，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，看出復數(shù)對應的點在一個圓上，根據(jù)圓的性質求出最值．

解答：解：（1）設Z=x+yi（x，y∈R）
由題意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴

x2+y2 = 2 (1) 2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y將其代入（2）得2x²=2，
∴x=±1
故

x=1 y=1

 或

x=-1 y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）當Z=1+i時，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴|AC|=2，S△ABC=

1

2

×1×2=1
當Z=-1-i時，(

.

z

)2=-2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，-2），C（-1，3）
S△ABC=

1

2

×1×2=1．
（3）由題知，z=1+i
設m=c+di，則m-z=（c-1）+（d-1）i
|m-z|=1，
∴（c-1）²+（d-1）²=1
則復數(shù)m在復平面內(nèi)所對應的點為M的軌跡為（1，1）為圓心，1為半徑的圓
所以|m|min=

2

-1，|m|max=

2

+1

點評：本題考查復數(shù)形式和復數(shù)的模長，本題解題的關鍵是對于復數(shù)的代數(shù)表示和復數(shù)的幾何意義兩者熟練應用，在利用幾何意義求最值時，注意這是圓常用的一種方法．