Question

如圖，四棱錐P桝BCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)B、P的坐標(biāo)；

(2)求異面直線PA與BC所成的角；

(3)若PB的中點(diǎn)為M，求證：平面AMC⊥平面PBC.

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D梮yz, ∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°. 在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=23. ∴P(0,0,23). (2)解析：∵=(2,0,-2), =(-2,-3,0), ∴cos〈,〉==-. ∴PA與BC所成的角為arccos. (3)證明：∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2,). ∴=(-1,2,), =(1,1,),PB=(2,4,-2). ∵·=(-1)×2+2×4+×(-2)=0, ·=1×2+1×4+3×(-2)=0, 提示：