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14.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=a,E是棱PC的中點(diǎn).
(1)求證:PC⊥BD;
(2)求直線BE與PA所成角的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出△PBC,△PDC都是等邊三角形,從而BE⊥PC,DE⊥PC,由此能證明PC⊥BD.
(2)連接AC,交BD于點(diǎn)O,連OE,則AP∥OE,∠BOE即為BE與PA所成的角,由此能求出直線BE與PA所成角的余弦值.

解答 證明:(1)∵四邊形ABCD為正方形,且PA=AB=a,
∴△PBC,△PDC都是等邊三角形,…(2分)
∵E是棱PC的中點(diǎn),
∴BE⊥PC,DE⊥PC,又 BE∩DE=E,
∴PC⊥平面BDE…(5分)
又BD?平面BDE,
∴PC⊥BD…(6分)
解:(2)連接AC,交BD于點(diǎn)O,連OE.   
四邊形ABCD為正方形,∴O是AC的中點(diǎn)…(8分)
又E是PC的中點(diǎn)
∴OE為△ACP的中位線,∴AP∥OE
∴∠BEO即為BE與PA所成的角   …(10分)
在Rt△BOE中,BE=32a,EO=12PA=12a,…(12分)
∴cos∠BEO=OEBE=33
∴直線BE與PA所成角的余弦值為33.…(14分)

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明,考查線線角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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