Question

17．已知數(shù)列{a_n}中的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$，又a_n=log₂b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{n^2}+n}}{2}-\frac{{{{（n-1）}^2}+（n-1）}}{2}=n$…（3分）
當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}={S_1}=\frac{{{1^2}+1}}{2}=1$，也適合上式…（5分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．…（6分）
（2）由 a_n=log₂b_n，得${b_n}={2^n}$…（9分）
則數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為：${T_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及前n項(xiàng)和的計(jì)算，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．