Question

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）求式子（1-a）a的最大值；
（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同時(shí)大于

1

4

.

Answer 1

分析：對(duì)于（1）求式子（1-a）a的最大值．考慮到和為定值1，故可以用直接用基本不等式求解，且等號(hào)成立時(shí)候取最大值．
對(duì)于（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同時(shí)大于

1

4

.可用反證法假設(shè)可以同時(shí)大于

1

4

，讓三個(gè)等式左邊右邊分別相乘得到(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞

1

64

，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以判斷錯(cuò)誤，故假設(shè)不成立，即得證．

解答：解：（1）∵a∈（0，1）
根據(jù)基本不等式∴a(1-a)≤(

a+1-a

2

)2=

1

4

（當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

2

時(shí)“=”成立）
∴a（1-a）的最大值是

1

4

.．
（2）證明：假設(shè)（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同時(shí)大于

1

4

即(1-a)b＞

1

4

，(1-b)c＞

1

4

，(1-c)a＞

1

4

三式同向相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞

1

64

①
∵a∈（0，1），∴（1-a）a＞0，又由（1）知(1-a)a≤

1

4

.∴0＜(1-a)a≤

1

4

同理0＜(1-b)b≤

1

4

，0＜(1-c)c≤

1

4

.∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

1

64

與①式矛盾，即假設(shè)不成立，故結(jié)論正確．
即得證．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查不等式的證明問題，題中涉及到基本不等式的應(yīng)用以及反證法證明不等式，題目計(jì)算量小但有一定的技巧性，而且反證思想在證明題中非常重要，同學(xué)們需要注意．