Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件知S₁=a₁=1，S₂=4a₂=

4

3

，S₃=9a₃=

3

2

，S₄=16a₄=

8

5

．
（2）猜想：Sn=

2n

n+1

，再用數(shù)學歸納法對這個猜想加以證明．

解答：解：（1）S₁=a₁=1
由題意知，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂
得a2=

1

3

，a1=

1

3

，∴S2=

4

3

.
同理得，S₃=9a₃，即S₂+a₃=9a₃
得a3=

1

8

，S2=

1

8

×

4

3

=

1

6

，∴S3=

3

2

S₄=16a₄，即S₃+a₄=16a₄
得a4=

1

15

S3=

1

15

×

3

2

=

1

10

，∴S4=

8

5

（4分）
（2）猜想：Sn=

2n

n+1

（7分）
證明：①當n=1時，S1=

2×1

1+1

=1，與已知相符，故結(jié)論成立（8分）
②假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，即Sk=

2k

k+1

（9分）
由已知有S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k）．
整理得[(k+1)2-1]Sk+1=(k+1)2Sk，即Sk+1=

(k+1)2

k2+2k

Sk∴Sk+1=

(k+1)2

k2+2k

•

2k

k+1

=

2(k+1)

k+2

=

2(k+1)

(k+1)+1

（11分）
即當n=k+1時，結(jié)論也成立
綜上①②知，對n∈N*，Sn=

2n

n+1

（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第二問要注意數(shù)學歸納法的證明技巧．