Question

5．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長是1的正方形，側棱PA與底面成45°的角，M，N分別是AB，PC的中點；
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求MN與面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PD，即可求出四棱錐P-ABCD的體積；（2）證出AE∥MN，問題轉(zhuǎn)化為求∠AED的大小即可．

解答 解（1）四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因為PD⊥平面ABCD，側棱PA與底面成45°的角所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：$\frac{1}{3}$；
（2）設PD的中點為E，連NE，AE

根據(jù)三角形的中位線可知NE∥CD，且NE=$\frac{1}{2}$CD，
∵AM∥CD，且AM=$\frac{1}{2}$CD，
∴NE∥AM，且NE=AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴AE∥MN，
MN與面PCD所成的角即∠AED，
tan∠AED=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
故MN與面PCD所成的角是arctan2．

點評 本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，以及直線與平面的位置關系等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．