Question

設函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x³又函數(shù) g（x）=|xcos（πx）|，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）[-

1

2

，

3

2

]上的零點個數(shù)為

6

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式，求出x∈[0，

1

2

]，x∈[

1

2

，

3

2

]時，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（

1

2

）=g（

3

2

）=0，畫出函數(shù)的草圖，判斷零點的個數(shù)即可．

解答：解：因為當x∈[0，1]時，f（x）=x³ ，所以，
當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，f（x）=f（2-x）=（2-x）³ ．
當x∈[0，

1

2

]時，g（x）=xcos（πx）；當x∈[

1

2

，

3

2

]時，g（x）=-xcosπx．
注意到函數(shù)f（x）、g（x）都是偶函數(shù)，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，g（

1

2

）=g（

3

2

）=0，
作出函數(shù)f（x）、g（x）的草圖，函數(shù)h（x）除了0、1這兩個零點之外，
分別在區(qū)間[-

1

2

，0]，[0，

1

2

]，[

1

2

，1]，[1，

3

2

]上各有一個零點．
共有6個零點，
故答案為 6．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、函數(shù)的零點，考查轉化能力、運算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想、數(shù)形結合思想，難度較大，屬于中檔題．