設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且當x∈[0,1]時,f(x)=x3又函數(shù) g(x)=|xcos(πx)|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)[-
1
2
,
3
2
]上的零點個數(shù)為
6
6
分析:利用函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式,求出x∈[0,
1
2
],x∈[
1
2
3
2
]時,g(x)的解析式,推出f(0)=g(0),f(1)=g(1),g(
1
2
)=g(
3
2
)=0,畫出函數(shù)的草圖,判斷零點的個數(shù)即可.
解答:解:因為當x∈[0,1]時,f(x)=x3 ,所以,
當x∈[1,2]時,2-x∈[0,1],f(x)=f(2-x)=(2-x)3
當x∈[0,
1
2
]時,g(x)=xcos(πx);當x∈[
1
2
,
3
2
]時,g(x)=-xcosπx.
注意到函數(shù)f(x)、g(x)都是偶函數(shù),且f(0)=g(0),f(1)=g(1)=1,g(
1
2
)=g(
3
2
)=0,
作出函數(shù)f(x)、g(x)的草圖,函數(shù)h(x)除了0、1這兩個零點之外,
分別在區(qū)間[-
1
2
,0],[0,
1
2
],[
1
2
,1],[1,
3
2
]上各有一個零點.
共有6個零點,
故答案為 6.
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、函數(shù)的零點,考查轉化能力、運算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想、數(shù)形結合思想,難度較大,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)的定義域為R,若存在常數(shù)m>0,使|f(x)|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立,則稱f(x)為F函數(shù).給出下列函數(shù):
①f(x)=0;②f(x)=x2;③f(x)=
2
(sinx+cosx)
;④f(x)=
x
x2+x+1
;其中是F函數(shù)的序號為
①④
①④

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當x∈[0,1]時,f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②當x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數(shù)列;
④關于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數(shù)為( �。�

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:徐州模擬 題型:解答題

設函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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