Question

在雙曲線中，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，B為左頂點(diǎn)．點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數(shù)列．過(guò)F作C位于一、三象限內(nèi)的漸近線的垂線，垂足為P．
（1）求證：；
（2）若，，過(guò)點(diǎn)（0，-2）的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M與N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由|OA|，|OB|，|OF|成等比數(shù)列求出A點(diǎn)坐標(biāo)．再由過(guò)F作C，位于一、三象限內(nèi)的漸近線的垂線，垂足為P，求得p點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P、A點(diǎn)坐標(biāo)得PA⊥OF，再把要證明的結(jié)論變形即可．
（2）由給出的條件先求出雙曲線C的方程，設(shè)直線l的方程y=kx-2；再把用M和N的坐標(biāo)表示，即含k的代數(shù)式，利用直線和雙曲線的方程有兩不等根，即△＞0，解得k的范圍，從而求出的范圍．
解答：解：（1）設(shè)A（x，0），x＞0．而F（c，0），B（-a，0）．
由題意得，a²=x•c，所以，即．
雙曲線位于一、三象限的漸近線方程為，其過(guò)F的垂線為，
聯(lián)立兩直線方程可求出．
可見(jiàn)PA⊥OF，所以．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183014176782512/SYS201310241830141767825019_DA/9.png">，，所以
設(shè)l：y=kx-2代入雙曲線方程得（3-k²）x²+4kx-16=0，又設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則，
由韋達(dá)定理，上式=．再由△=16k²+4×16（3-k²）＞0⇒0≤k²＜4且k²≠3，
由此可求出的范圍是
點(diǎn)評(píng)：此題是一道數(shù)列和雙曲線的綜合應(yīng)用題，該題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線和雙曲線的關(guān)系，
解答此題關(guān)鍵在于找出幾何關(guān)系及直線和雙曲線的交點(diǎn)與方程組的解相互聯(lián)系，不要忽視了“△＞0”這個(gè)隱含條件．