Question

已知定點(diǎn)及橢圓,過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．

   （1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；

   （2）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：

 （1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,

將代入,

消去整理得，         …………………  2 分

設(shè),

① ②

則                     

由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，

得，解得，適合①

所以直線的方程為或；  ……………… 5分

   （2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù)．

   （ⅰ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（1）知

 ，   ③

所以

；       …………………………7分

將③代入，整理得

 ，     

注意到是與無關(guān)的常數(shù)，從而有，

此時(shí) ；       ……………………………………………… 10分

   （ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

當(dāng)時(shí)，亦有 ；

綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). ……………  12分

【解析】略