Question

已知向量

a

與

b

滿足：|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

+3

b

）•（2

a

-

b

）=61．
（Ⅰ）求

a

•

b

的值；
（Ⅱ）求向量

a

與

b

的夾角；
（Ⅲ）求|

a

-

b

|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由（2

a

+3

b

）•（2

a

-

b

）=61得，4

a

²+4

a

•

b

-3

b

²=61將|

a

|=4，|

b

|=3，代入即可求得兩向量的內(nèi)積；
（Ⅱ）由公式cosθ=

a • b

| a || b |

求出向量

a

與

b

的夾角余弦，再由出對(duì)應(yīng)的角；
（Ⅲ）先求出（

a

-

b

）²=

a

²-2

a

•

b

+

b

²=13，再開方求出兩向量差的模．

解答：解：（Ⅰ）由（2

a

+3

b

）•（2

a

-

b

）=61得，4

a

²+4

a

•

b

-3

b

²=61．
又|

a

|=4，|

b

|=3，可得

a

•

b

=6．                    …（4分）
（Ⅱ）設(shè)向量

a

與

b

的夾角為θ，
則cosθ=

a • b

| a || b |

=

6

4×3

=

1

2

，
可知向量

a

與

b

的夾角為60°．                    …（8分）
（Ⅲ）由（

a

-

b

）²=

a

²-2

a

•

b

+

b

²=13可得，|

a

-

b

|=

13

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積的公式及其運(yùn)算性質(zhì)，向量的角的數(shù)量積表示，本題是數(shù)量積運(yùn)用的基本題型．考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化的思想及運(yùn)算變形的能力．