Question

已知函數f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）若x=-1是f（x）的一個極值點，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用x=-1是f（x）的一個極值點，建立方程，即可求b的值；
（Ⅱ）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可得到f（x）的單調區(qū)間．

解答：（Ⅰ）解：由題意，f′(x)=

b-x2

(x2+b)2

．                                     …（2分）
依題意，令f′（-1）=0，得b=1．                           …（4分）
經檢驗，b=1時符合題意．                                  …（5分）
（Ⅱ）解：①當b=0時，f(x)=

1

x

．
故f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；無單調增區(qū)間．      …（6分）
②當b＞0時，f′(x)=

b-x2

(x2+b)2

．
令f′（x）=0，得x=±

b

．                       …（8分）
f（x）和f′（x）的情況如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；單調增區(qū)間為（-

b

，

b

）．…（11分）
③當b＜0時，f（x）的定義域為D={x|x≠±

-b

}．
因為f′(x)=

b-x2

(x2+b)2

在D上恒成立，
故f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-

b

），（-

b

，

b

），（

b

，+∞）；無單調增區(qū)間．…（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調區(qū)間，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．