Question

已知M（4，0），N（1，0），若動點P滿足

MN

•

MP

=6|

PN

|．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設過點N的直線l交軌跡C于A，B兩點，若-

18

7

≤

NA

•

NB

≤-

12

5

，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設動點P（x，y），由已知得-3(x-4)=6

(1-x)2+(-y)2

，由此得到點P的軌跡C的方程．
（2）設過N的直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得(2+4k)2x2-8k2x+4k2-12=0，再由題設條件結合根與系數(shù)的關系進行求解．

解答：解：（1）設動點P（x，y），
則

MP

=(x-4，y)，

MN

=(-3，0)，

PN

=(1-x，-y)（2分）
由已知得-3(x-4)=6

(1-x)2+(-y)2

，化簡得3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1
∴點P的軌跡是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（Ⅱ）設過N的直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0（8分）
∵N在橢圓內(nèi)，∴△＞0，∴

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

（10分）
∵

NA

•

NB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)(x1-1)(x2-1)=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=(1+k2)

4k2-12-8k2+3+4k2

3+4k2

=

-9(1+k2)

3+4k2

（12分）
∴-

18

7

≤

-9(1+k2)

3+4k2

≤-

12

5

得1≤k²≤3
∴-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

（14分）

點評：本題考查軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．