Question

1．通過觀察，下列數(shù)列哪些收斂？哪些發(fā)散？并求收斂數(shù)列的極限；
（1）{$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$}；
（2）{（-1）ⁿ$\frac{n}{n+1}$}；
（3）{（$\frac{3}{4}$）ⁿ+1}；
（4）{2ⁿ}；
（5）{（$\frac{a}{a+1}$）ⁿ}（a＞0為常數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{1+x}$單調(diào)性判斷，
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，
（4）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．

解答 解：（1）（1）利用f（x）=$\frac{（-1）^{n}}{1+x}$單調(diào)性得出：{$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$}是收斂數(shù)列，數(shù)列的極限為0；

（2）{（-1）ⁿ$\frac{n}{n+1}$}是發(fā)散數(shù)列；
（3）指數(shù)函數(shù)y=（$\frac{3}{4}$）^x單調(diào)性判斷{（$\frac{3}{4}$）ⁿ+1}是收斂數(shù)列，數(shù)列的極限為1；
（4）∵y=2ⁿ是單調(diào)遞增函數(shù)，{2ⁿ}是發(fā)散數(shù)列；
（5）指數(shù)函數(shù)y=（a）ⁿ，0＜a＜1單調(diào)性判斷{（$\frac{a}{a+1}$）ⁿ}（a＞0為常數(shù)）是收斂數(shù)列，數(shù)列的極限為0；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用，數(shù)列的概念的理解運(yùn)用，屬于中檔題．