Question

解關(guān)于x的不等式：
（1）ax²+2x+1＞0（a＞0）；
（2）

a-1

x-1

≥a．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）對于不等式ax²+2x+1＞0，判別式△=4-4a，分△＞0、△=0、△＜0三種情況，分別求得不等式的解集．
（2）不等式即

ax+1-2a

x-1

≤0，分①當(dāng)a=0時、②當(dāng)a＞0時、當(dāng)a＜0時三種情況，分別利用對應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)，求得原不等式的解集．

解答： 解：（1）對于不等式ax²+2x+1＞0，判別式△=4-4a，
∴當(dāng)0＜a＜1時，△＞0，求得ax²+2x+1=0的根為

-2± 4-4a

2a

=

-1± 1-a

a

，
故原不等式的解集為（-∞，

-1- 1-a

a

）∪（

-1+ 1-a

a

，+∞）．
當(dāng)a=1時，△=0，原不等式的解集為{x|x≠-1}．
當(dāng)a＞1時，△＜0，原不等式的解集為R．
（2）由

a-1

x-1

≥a 可得

ax+1-2a

x-1

≤0，
①當(dāng)a=0時，不等式即

1

x-1

≤0，求得解集為{x|x＜1}．
②當(dāng)a＞0時，不等式即

a(x- 2a-1 a )

x-1

≤0，
若2-

1

a

＜1，即0＜a＜1時，不等式的解集為[2-

1

a

，1）．
若2-

1

a

=1，即a=1時，不等式的解集為∅．
若2-

1

a

＞1，即a＞1時，不等式的解集為（1，2-

1

a

]．
當(dāng)a＜0時，不等式即

a(x- 2a-1 a )

x-1

≤0，

(x- 2a-1 a )

x-1

≥0，∵2-

1

a

＞2，
原不等式的解集為{x|x＜1，或 x≥2-

1

a

}．

點評：本題主要考查分式不等式的激發(fā)，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．