Question

已知函數(shù)y=x²+alnx+

2

x

在（1，4）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=2x+

a

x

-

2

x2

，
若函數(shù)y=x²+alnx+

2

x

在（1，4）上單調(diào)遞減，
則函數(shù)y′=2x+

a

x

-

2

x2

≤0在（1，4）恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在（1，4）恒成立，
∵函數(shù)f（x）=

2

x

-2x²的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-

2

x2

-4x＜0，
∴函數(shù)在（1，4）上單調(diào)遞減，
∴f（4）＜f（x）＜f（1），
即-

15

2

＜f（x）＜0，
則a≤-

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值恒成立是解決本題的關(guān)鍵．