Question

9．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ=1．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、極坐標與直角坐標互化公式即可得出．
（2）把直線參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）代入曲線C的方程可得：t²-4t-6=0，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由曲線C：ρ²cos2θ=ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，
得ρ²cos2θ-ρ²sin²θ=1，化成普通方程x²-y²=1①
（2）把直線參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）   ②
把②代入①得：${（{2+\frac{1}{2}t}）^2}-{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}=1$整理，得t²-4t-6=0
設其兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=4，t₁•t₂=-6
從而弦長為$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{4^2}-4（{-6}）}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化公式、直線與曲線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．