Question

經市場調查，某商品在過去100天內的銷售量和銷售價格均為時間t（天）的函數，且日銷售量近似的滿足g（t）=-

1

3

t+

112

3

（1≤t≤100，t∈N^*），前40天價格為f（t）=

1

4

t+22（1≤t≤40，t∈N^*），后60天價格為f（t）=

1

2

t+52（41≤t≤100，t∈N^*）．試求該商品的日銷售額S（t）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根據題意，可對t分1≤t≤40，t∈N^*時，與41≤t≤100，t∈N^*時兩種情況下可分別求得S（t）=g（t）f（t）的表達式，利用二次函數的對稱軸與所給區(qū)間之間的關系利用函數的單調性
即可求得該商品的日銷售額S（t）的最大值和最小值．

解答：解：當1≤t≤40，t∈N^*時，
S（t）=g（t）f（t）
=（-

1

3

t+

112

3

）（

1

4

t+22）
=-

1

12

（t-12）²+

2500

3

，
∴768=S（40）≤S（t）≤S（12）=

112×22

3

+12=

2500

3

…6分
當41≤t≤100，t∈N^*時，
S（t）=g（t）f（t）
=（-

1

3

t+

112

3

）（-

1

2

t+52）
=

1

6

（t-108）²-

8

3

，
∴8=S（100）≤S（t）≤S（41）=

1491

2

…12分
∴S（t）的最大值為

2500

3

，最小值為8…14分．

點評：本題考查函數的最值，突出考查二次函數的單調性，根據二次函數的對稱軸與所給區(qū)間之間的關系判斷函數的單調性是關鍵，也是難點，屬于中檔題．