Question

如果函數(shù)f(x)=-

2a

b

ln(x+1)的圖象在x=1處的切線l過(guò)點(diǎn)（0，-

1

b

），并且l與圓C：x²+y²=1相離，則點(diǎn)（a，b）與圓C的位置關(guān)系是（　�。�

A．在圓內(nèi)

B．在圓外

C．在圓上

D．不能確定

Answer 1

分析：利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意將x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，求出切線l的斜率，由斜率及切線l過(guò)（0，-

1

b

），表示出切線l的方程，根據(jù)切線l與圓相離，可得出圓心到切線l的距離d大于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)系式，變形后得到a²+b²小于1，即（a，b）到圓心（0，0）的距離小于半徑r，可判斷出此點(diǎn)在圓內(nèi)．

解答：解：求導(dǎo)得：f′（x）=-

2a

b

•

1

x+1

，
由題意得：f（x）函數(shù)圖象在x=1處的切線l過(guò)點(diǎn)（0，-

1

b

），
∴切線l的斜率為f′（1）=-

a

b

，
∴切線l方程為y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0，
∵直線l與圓C：x²+y²=1相離，且圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，
∴圓心到直線l的距離d=

1

a2+b2

＞1=r，即a²+b²＜1，
∴點(diǎn)（a，b）與圓C的位置關(guān)系是：點(diǎn)在圓內(nèi)．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以及兩點(diǎn)間的距離公式，其中直線與圓的位置關(guān)系可以由d與r的大小來(lái)判斷（d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑），當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交．