Question

15．在一個(gè)有限的實(shí)數(shù)列中，任何7個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是負(fù)的，任何11個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是正的，試問這樣的一個(gè)數(shù)列最多能包含多少項(xiàng)？

Answer 1

分析 由已知可得，從a₁起a₈+a₉+a₁₀+a₁₁＞0，從a₂起a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂＞0，…從a₁起每連續(xù)4項(xiàng)的和都是正的，則a₁₂+a₁₃+a₁₄＜0，且從a₁₂起每連續(xù)3項(xiàng)的和都是負(fù)的，但a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅＞0，即從a₁₅起，以后每一項(xiàng)都是正的，這時(shí)a₁₆＞0，若再有a₁₇＞0，則得出a₁₅+a₁₆+a₁₇＞0，與從a₁₂起每連續(xù)3項(xiàng)的和都是負(fù)的矛盾，從而可得到結(jié)論．

解答 解：由a₁+a₂+a₃+…+a₇＜0，a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁＞0，
從a₁起a₈+a₉+a₁₀+a₁₁＞0，從a₂起a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂＞0，…從a₁起每連續(xù)4項(xiàng)的和都是正的，
則a₁₂+a₁₃+a₁₄＜0，且從a₁₂起每連續(xù)3項(xiàng)的和都是負(fù)的，但a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅＞0，
∴從a₁₅起，以后每一項(xiàng)都是正的，這時(shí)a₁₆＞0，若再有a₁₇＞0，則得出a₁₅+a₁₆+a₁₇＞0，與從a₁₂起每連續(xù)3項(xiàng)的和都是負(fù)的矛盾，
∴項(xiàng)數(shù)n≤16．
故這樣的一個(gè)數(shù)列最多能包含16項(xiàng)．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的概念及簡單表示法，考查了學(xué)生分析問題的能力，是中檔題．