Question

已知函數(shù)y=f（x）=．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=處的切線方程；
（2）設(shè)實數(shù)a＞0，求函數(shù)F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞），∴f′（x）=
∵f（）=-e，又∵k=f′（）=2e²，
∴函數(shù)y=f（x）的在x=處的切線方程為：
y+e=2e²（x-），即y=2e²x-3e．
（2）令f′（x）=0得x=e．
∵當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，則在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∵a＞0，
∴F（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F(xiàn)（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=ln，
∴當(dāng)0＜a≤2時，F(xiàn)（a）-F（2a）≤0，F(xiàn)_min（x）=F（a）=lna．
當(dāng)a＞2時，F(xiàn)（a）-F（2a）＞0，F(xiàn)（x）_min=F（2a）=ln2a．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率，求出切線方程．
（2）令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)的最大值在e處取得，最小值在端點處取得，通過對a的分類討論比較出兩個端點值的大小，求出最小值．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．