Question

在等差數列{a_n}中，a₁=1，又a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的公差；
（Ⅱ）設b_n=

1

anan+1

，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，由等差數列的通項公式求出a_n，由等比中項的性質列出方程，求出d的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_n，代入b_n=

1

anan+1

化簡，由裂項相消法求出數列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，
因為a₁=1，所以a_n=1+d（n-1）…（1分）
又a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列，則

a

2 2

=a1a5…（3分）
所以（1+d）²=1×（1+4d），解得d=2或d=0（舍 …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
所以bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（7分）
則Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）

點評：本題考查等差數列的通項公式，等比中項的性質，以及裂項相消法求數列的前n項和．