Question

(1)已知函數(shù)為有理數(shù)且)，求函數(shù)的最小值;
(2)①試用(1)的結(jié)果證明命題：設(shè)為有理數(shù)且，若時(shí)，則；
②請(qǐng)將命題推廣到一般形式，并證明你的結(jié)論；
注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式

Answer 1

（1）（2）①關(guān)鍵是利用函數(shù)的最小值為②利用數(shù)學(xué)歸納法可證。

試題分析：解：（Ⅰ）令
得
當(dāng)時(shí)，，故在上遞減．
當(dāng)，故在上遞增．
所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為 
（Ⅱ）（�。�，令，由（Ⅰ）知
，，即 
（ⅱ）命題推廣到一般形式為：設(shè)為有理數(shù)且，
若時(shí)，則.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）（�。┲�，不等式成立；
②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，
那么時(shí)，要證，
即證，
設(shè)函數(shù)，
則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，
故在上遞減；
當(dāng)，類似可證，故在上遞增．
當(dāng)時(shí)，的最小值為



，
由歸納假設(shè)知，所以，
，
時(shí)不等式成立.
綜上，原命題得證 
點(diǎn)評(píng)：本題用到的數(shù)學(xué)歸納法，在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。若要證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立。對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥），命題P(n）都成立。