Question

如圖，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，A（0，b），且•=-2過(guò)左焦點(diǎn)F₁作直線(xiàn)l交橢圓于P₁、P₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線(xiàn)l的傾斜角a∈[，]，直線(xiàn)OP₁，OP₂與直線(xiàn)x=-分別交于點(diǎn)S、T，求|ST|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合離心率，即可求得橢圓方程；
（2）確定直線(xiàn)OP₁、OP₂的方程，求出S，T的坐標(biāo)，可得|ST|，結(jié)合m的范圍，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則
由•=-2得b²-c²=-2
∵
∴a²=4，b²=1，c²=3
∴橢圓方程為；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為
∵傾斜角α∈[，]，
∴m∈[]
則P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）的坐標(biāo)軸滿(mǎn)足方程組
∴（m²+4）y²-y-1=0
∴，
∴x₁x₂=
由P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），得直線(xiàn)OP₁、OP₂的方程為、
∴點(diǎn)S、T的坐標(biāo)為S（），T（）
∴|ST|=||=
令
∵m∈[]
∴
∴|ST|=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查橢圓的方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．