設(shè)函數(shù)g(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2-bx(a，b∈R)，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（1）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f（x）=g'（x）=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)
由韋達(dá)定理，
-2+4=-a
-2×4=-b
∴
a=-2
b=8
，f（x）=x2-2x-8（7分）
（2）g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以在[-1，3]區(qū)間上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax-b≤0，即f（x）=x2+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
這只需滿足
f(-1)≤0
f(3)≤0
即可，也即
a+b≥1
b-3a≥9

而a2+b2可視為平面區(qū)域
a+b≥1
b-3a≥9
內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（-2，3）距離原點(diǎn)最近，
所以當(dāng)
a=-2
b=3
時(shí)，a2+b2有最小值13．（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)g(x)=
x
+1，函數(shù)h(x)=
1
x+3
，x∈(-3，a]，其中a為常數(shù)且a＞0，令函數(shù)f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求其定義域；
（2）當(dāng)a=
1
4
時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的值域恰為[
1
3
，
1
2
]？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）若x1=-
1
3
，x2=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
3
，求b的最大值；
（Ⅲ）若-
1
3
為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)-ax-
1
3
a，當(dāng)x∈[-
1
3
，a]時(shí)求|g（x）|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
3
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2bx-
5
12
，若對(duì)于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g(x)=(
1
3
)x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)φ（x）=f（4x-x2），則函數(shù)φ（x）的遞減區(qū)間是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-x2+3，x∈[-1，t]（t＞-1）．
（Ⅰ）當(dāng)t=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(t)=
1
3
(t-2)2，t＞-1．記方程f'（x）=g（t）的解為x0，x0∈（-1，t），就t的取值情況討論x0的個(gè)數(shù)．

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