Question

已知函數(shù)f （x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=4時，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a=

1

2

時，求f（x）的最小值；
（3）若a為正常數(shù)，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）用分離常數(shù)法分離，再利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值．
（2）把f（x）用分離常數(shù)法分離，再利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值．
（3）先用分離常數(shù)法把函數(shù)分離，在分

a

和1的大小并利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=4時，f（x）=x+

4

x

+2，易知，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（2）=6．
（2）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x+

1

2x

+2．
易知，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（1）=

7

2

．
（3）函數(shù)f（x）=x+

a

x

+2在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
若

a

＞1，即a＞1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上先減后增，f（x）_min=f（

a

）=2

a

+2．
若

a

≤1，即0＜a≤1時，
f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=a+3．

點評：本題考查分離常數(shù)法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，分離常數(shù)法求函數(shù)值域一般適用于分式函數(shù)，且分子為二次形式，而分母為一次形式的題．