Question

已知點O是△ABC所在平面內的一點，3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

且AB：BC：CA=5：4：3，下列結論錯誤的是（　　）

A．點O在△ABC外

B．S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=6：3：2

C．點O到AB，BC，CA距離的比是72：45：40

D．O，A，B，C四點共圓

Answer 1

分析：由題意可對3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

變形，可變?yōu)?span id="onslc4w" class="MathJye">3(

OA

-

OC

)+2(

OB

-

OC

)=

OC

即

OC

=3

CA

+2

CB

，再由AB：BC：CA=5：4：3，不妨令AB，BC，CA長度分別為5，4，3，由勾股定理可得出此三角形是直角三角形，由這些幾何特征作出如圖的圖形，由圖對四個選項逐一判斷找出錯誤選項，A選項由圖就可判斷出正確，B選項可先根據圖形求出三個三角形的面積，作比驗證；C選項可求出O到AB，BC，CA的距離，再求它們的比驗證，D選項由圖即可觀察出正誤

解答：解：由題意，已知點O是△ABC所在平面內的一點，
3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

可變?yōu)?span id="vfgc5tg" class="MathJye">3(

OA

-

OC

)+2(

OB

-

OC

)=

OC

即

OC

=3

CA

+2

CB

又，不妨令AB，BC，CA長度分別為5，4，3，
由于5²=4²+3²，可知角C是直角，如圖CE=9，CD=8，CF=OC=

145

由圖知，A選項中點O在△ABC外正確
B選項中，S_△BOC=

1

2

×4×9=18，S_△COA=

1

2

×3×8=12，S_△AOB=S_△BOC+S_△COA+S_△CB=18+12+6=36，
故S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=36：18：12=6：3：2，B選項中的結論正確
C選項中，由作圖知點O到BC，CA距離分別是9，8，到AB的距離為

S△AOB

AB

×2=

72

5

，于是點O到AB，BC，CA距離的比是

72

5

：9：8=72：45：40，故C選項中的結論正確
D選項中O，A，B，C四點共圓不正確，因為C點在三角形AOB內．
綜上知，D選項是錯誤的
故選D

點評：本題考查向量在幾何中的應用，考查由向量的運算，得出所研究幾何對象的幾何特征，解題的關鍵是理解題意，由題設條件判斷出四點O，A，B，C的相對位置，它們的幾何特征，這些幾何特征是解題的重點，本題的難點是處理題設中條件3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

與AB：BC：CA=5：4：3，解答本題也要注意賦值的技巧，由于本題中兩個選項研究位置關系，兩個選項研究的是比值關系，故采取了特值法不妨令AB，BC，CA長度分別為5，4，3，此做法大大降低了計算難度，做題時要恰當使用，本題考查了數(shù)形結合的思想，判斷推理的能力，綜合性較強，難度較大