Question

已知函數(shù)，m＜0．
（I）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）已知m（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)，使f（x）＞e+1成立，證明：2m+e+l＜0；
（III）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將已知m（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)，使f（x）＞e+1成立，等價(jià)于已知m，當(dāng)時(shí)，使f（x）_max＞e+1成立，先求出函數(shù)f（x）的最大值，進(jìn)而即可得出結(jié)論．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以f（x）-＜f（0）．可得．當(dāng)n∈N^*時(shí)，，得，即．利用上式即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=，∴y=．
∵，∴x，∴此函數(shù)的定義域?yàn)閧x|}．
∵y^′==．
令y^′=0，得或x=1．
又，當(dāng)，或x＞1時(shí)，y^′＞0；當(dāng)時(shí)，y^′＜0．
∴函數(shù)y=f（x）-在區(qū)間或（1，+∞）上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．
．（Ⅱ）∵已知m（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)，使f（x）＞e+1成立，
∴上述問題等價(jià)于已知m，當(dāng)時(shí)，使f（x）_max＞e+1成立，
下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)求（x）的最大值．
∵，∴．
∵=，
∴令f^′（x）=0解得x₁=0，．
當(dāng)時(shí)，f^′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，f^′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．
故函數(shù)f（x）在x=0時(shí)取得最大值，且f（0）=-2m，
∴-2m＞e+1，即2m+e+1＜0．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=f（x）-在（0，1]上為減函數(shù)．
又函數(shù)y=f（x）-在x=0處連續(xù)，∴f（x）-＜f（0）．
即，亦即＜0．
∴．
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，有．
當(dāng)n∈N^*時(shí)，，
∴，即．
∴+…+=，
故結(jié)論成立．
點(diǎn)評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及證明不等式，熟練求導(dǎo)和善于轉(zhuǎn)化及利用已證結(jié)論是解決問題的關(guān)鍵．