Question

f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意的x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1成立．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）若f（4）=5，求f（2）；
（2）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（4）=f（2）+f（2）-1，即可求出f（2）的值，
（2）要判斷函數(shù)的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個(gè)x₁＜x₂∈R，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小即可知道增減性．
（3）f（3m²-m-2）＜3，得f（3m²-m-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函數(shù)，得到3m²-m-2＜2，求出解集即可．

解答： 解：（1）f（4）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞1．
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞f（x₁）
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（3）∵由不等式f（3m²-m-2）＜3，
得f（3m²-m-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3m²-m-2＜2，
∴3m²-m-4＜0，
∴-1＜m＜

4

3

，
∴不等式f（3m²-m-2）＜3的解集為（-1，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握判斷函數(shù)奇偶性能力和判斷函數(shù)增減性的能力，靈活運(yùn)用題中已知條件的能力．