Question

已知數(shù)列{a_n}，對于任意n≥2，在a_n-1與a_n之間插入n個數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列，并記在a_n-1與a_n之間插入的這n個數(shù)均值為C_n-1．
（1）若a_n=，求C₁，C₂，C₃；
（2）在（1）的條件下是否存在常數(shù)λ，使{C_n-1-λC_n}是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的λ，如果不存在，請說明理由；
（3）求出所有的滿足條件的數(shù)列{a_n}．

Answer 1

解：（1）由題意可得a₁=-2，a₂=1，a₃=5，a₄=10，∴在a₁與a₂之間插入-1、0，C₁=-，…1′
在a₂與a₃之間插入2、3、4，C₂=3，…2′在a₃與a₄之間插入6、7、8、9，C₃=．…3′
（2）在a_n-1與a_n之間插入n個數(shù)構(gòu)成等差，d==1，∴C_n-1 ==．…5′
假設(shè)存在λ使得{C_n+1-λC_n}是等差數(shù)列，
∵（C_n+1-λC_n）-（C_n-λC_n-1）=C_n+1-C_n-λ（C_n-C_n-1）=-λ•=（1-λ）n+-λ=常數(shù)，
∴λ=1時{C_n+1-λC_n}是等差數(shù)列．…8′
（3）由題意滿足條件的數(shù)列{a_n}應(yīng)滿足 =，…10′∴=．
∴• …•=•…•=．
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）•（n+2），…12′
∴a_n-a_n-1=（a₂-a₁）•（n+1），
…
a₃-a₂=（a₂-a₁）×4，
a₂-a₁=（a₂-a₁）×3，
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）•（n≥2）
∴a_n=（a₂-a₁）（n-1）（n+4）+a₁（n≥2）．…14′
又∵n=1時也滿足條件，…15′
∴形如 a_n=a（n-1）（n+4）+b （a、b∈R） 的數(shù)列均滿足條．…16′
分析：（1）由題意可得a₁=-2，a₂=1，a₃=5，a₄=10，由此求得C₁，C₂，C₃ 的值．
（2）在a_n-1與a_n之間插入n個數(shù)構(gòu)成等差，d==1，可得C_n-1 的值，再根據(jù)等差數(shù)列的定義求得滿足條件的λ．
（3）由題意滿足條件的數(shù)列{a_n}應(yīng)滿足 =，即 =，用累乘法求得a_n+1-a_n=（a₂-a₁）•（n+2），再用累加法求得滿足條件的
數(shù)列{a_n}的通項公式．
點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的函數(shù)特性，用累乘法和累加法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．