已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，
（1）若C上一點P滿足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面積；
（2）直線l交C于點A，B，線段AB的中點為(1，
1
2
)，求直線l的方程．
分析：（1）利用橢圓的定義和勾股定理及三角形的面積公式即可得出；
（2）利用“點差法”求出直線的斜率，進而利用點斜式即可求出直線的方程．
解答：解：（1）由第一定義，|PF1|+|PF2|=2a=4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16
由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12，
∴|PF1||PF2|=2，S△F1PF2=
1
2
|PF1||PF2|=1．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），滿足
x12
4
+y12=1，
x22
4
+y22=1，
兩式作差
(x1+x2)(x1-x2)
4
+(y1+y2)(y1-y2)=0，
將x1+x2=2，y1+y2=1代入，得
(x1-x2)
2
+(y1-y2)=0，可得kAB=
y1-y2
x1-x2
=-
1
2
，
∴直線方程為：y=-
1
2
x+1．
點評：熟練掌握橢圓的定義和勾股定理及三角形的面積公式、“點差法”求直線的斜率是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知橢圓C：
x2
4
+y2=1．
（1）過橢圓C的右焦點作一條垂直于x軸的垂軸弦MN，求MN的長度；
（2）若點P是橢圓C上不與頂點重合的任意一點，MN是橢圓C的短軸，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）（如圖），求xE?xF的值；
（3）在（2）的基礎上，把上述橢圓C一般化為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，MN是任意一條垂直于x軸的垂軸弦，其它條件不變，試探究xE?xF是否為定值？（不需要證明）；請你給出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x24
+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點．
（1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）求△AOB面積S的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1和點P（4，0），垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，連結(jié)PB交橢圓C于另一點E．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）證明直線AE與x軸相交于定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，
OA
•
OB
=0（其中O為坐標原點）．
（1）試探究：點O到直線AB的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知定點F1（-2，0）、F2（2，0），動點N滿足|
ON
|=1（O為坐標原點），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求點P的軌跡方程．
精英家教網(wǎng)
（2）如圖2，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N，
（�。┰O直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1•k2為定值；
（ⅱ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．

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