Question

20．為調(diào)查某地年齡與高血壓的關系，用簡單隨機抽樣法從該地區(qū)年齡在20～60的人群中抽取200人測量血壓，結果如表：

	高血壓	非高血壓	總計
年齡20到39	12	c	100
年齡40到60	b	52	100
總計	60	a	200

（1）計算表中的 a、b、c值；是否有99.9%的把握認為高血壓與年齡有關？并說明理由．
（2）現(xiàn)從這60名高血壓患者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這人10中隨機抽取2人，記年齡在20到39的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）由12+c=100，b+12=60，求出 a、b、c值，從而得到2×2列聯(lián)表，進而求出K²＞10.828，由此有99.9%的把握認為高血壓與年齡有關．
（2）由分層抽樣方法知年齡在20到39的患者中抽取的人數(shù)為2，年齡在40到60的患者中抽取的人數(shù)為8．依題意，X的取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（1）由12+c=100，b+12=60，
解得c=88，b=48；a=52+c=140，
從而得到2×2列聯(lián)表：

	高血壓	非高血壓	總計
年齡20到39	12	88	100
年齡40到60	48	52	100
總計	60	140	200

K²=$\frac{200（12×52-48×88）^{2}}{60×140×100×100}$≈30.86＞10.828，
∴有99.9%的把握認為高血壓與年齡有關．
（2）由分層抽樣方法知年齡在20到39的患者中抽取的人數(shù)為2，
年齡在40到60的患者中抽取的人數(shù)為8．
依題意，X的取值為0，1，2，
$P（{X=0}）=\frac{C_8^2}{{C_{10}^2}}=\frac{28}{45}，P（{X=1}）=\frac{C_8^1C_2^1}{{C_{10}^2}}=\frac{16}{45}，P（{X=2}）=\frac{C_2^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{45}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{28}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{1}{45}$

故X的期望為$EX=0×\frac{28}{45}+1×\frac{16}{45}+2×\frac{1}{45}=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．