Question

已知數(shù)列a_n-a_n-1=2n-1，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出a_n并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列的遞推關(guān)系a_n-a_n-1=2n-1，且a₁=1，即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）可猜想：a_n=n²；再利用數(shù)學(xué)歸納法，分兩步：①當(dāng)n=1時(shí)，易證等式成立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即a_k=k²；去推證n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答： 解：（1）∵a_n-a_n-1=2n-1，且a₁=1，
∴a₂=a₁+2×2-1=1+2×2-1=4；
a₃=a₂+2×3-1=4+2×3-1=9，
同理可得：a₄=16；
（2）由（1）可猜想：a_n=n²；
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知a₁=1=1²，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即a_k=k²；
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k+2（k+1）-1=k²+2k+1=（k+1）²，
即n=k+1時(shí)，等式也成立，
綜合①②知，對(duì)?n∈N^*，a_n=n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，猜得a_n=n²是關(guān)鍵，考查運(yùn)算及推理證明的能力，屬于中檔題．