Question

已知拋物線G：x²=4y；
（Ⅰ）過點(diǎn)P（2，1）作拋物線G的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線G上異于原點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，其中x₁＞x₂＞0，以A，B為直徑的圓恰好過拋物線的焦點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF，BF分別交拋物線G于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD的面積為32，求直線AC的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用判別式等于0求解斜率，則切線方程可求；
（2）由題意可設(shè)直線AC的方程為y=kx+1（k≠0），得到BD的方程，分別和拋物線聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求得AC，BD的長(zhǎng)度，代入四邊形的面積公式求得直線斜率，則直線AC的方程可求．

解答： 解：（1）由題意可知，拋物線的切線的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），
過點(diǎn)P（2，1）的切線方程為y-1=k（x-2），
聯(lián)立

x2=4y y=kx+1-2k

，得x²-4kx+4（2k-1）=0．
由△=0，即16k²-16（2k-1）=0，解得k=1．
∴所求的直線方程是y=x-1；
（2）由題意可設(shè)直線AC的方程為y=kx+1（k≠0），
則直線BD的方程為y=-

1

k

x+1．
由

x2=4y y=kx+1

，得x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴|AC|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

16k2+16

=4（1+k²）．
同理：|BD|=4×(1+

1

k2

)=

4(1+k2)

k2

．
∵四邊形ABCD的面積為32，
∴

1

2

|AC||BD|=32，
即

1

2

×4(1+k2)×

4(1+k2)

k2

=32．
解得：k=1或k=-1．
∴直線AC的方程是：y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了判別式法求曲線的切線方程，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，涉及直線與曲線的關(guān)系問題，常采用直線與圓錐曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．