Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期，利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得其對(duì)稱軸方程．
（2）利用x的范圍求得2x-

π

6

的范圍，進(jìn)而利用三角函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)在區(qū)間上最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x=

1

2

cos 2x+

3

2

sin 2x+1-cos 2x=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x+1=sin（2x-

π

6

）+1．
則f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，得對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
則當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，f（x）_max=2；
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時(shí)，f（x）_min=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)二倍角公式，兩角和公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，周期性能熟練掌握．