Question

當α∈（0°，180°）變化時，方程x²sinα+y²cosα=1表示的曲線的形狀怎樣變換？

Answer 1

分析：根據(jù)sinα，cosα的符號，對角α分五類進行討論，由直線、圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體類型．

解答：解：當α≠90°時，∵x²sinα+y²cosα=1，∴

x2

1 sinα

+

y2

1 cosα

=1．
（1）當0⁰＜α＜45⁰時，0＜sinα＜cosα，曲線是焦點在X軸上的橢圓；（3分）
（2）當α=45⁰時，sinα=cosα=

2

2

，曲線是圓；（2分）
（3）當45⁰＜α＜90⁰時，sinα＞cosα＞0，曲線是焦點在Y軸上的橢圓；（3分）
（4）當α=90⁰時，方程為x=±1，曲線是兩條直線；（2分）
（5）90⁰＜α＜180⁰時，sinα＞0，cosα＜0，曲線是焦點在X軸上的雙曲線．（4分）

點評：本題考查了方程含有參數(shù)時討論表示的曲線問題，需要根據(jù)系數(shù)的符號進行分類討論，分別再由圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體形狀，考查了分類討論思想．