Question

（本小題滿分14分）已知，設(shè)函數(shù)．

（1）若在（0， 2）上無極值，求t的值；

（2）若存在，使得是在[0， 2]上的最大值，求t的取值范圍；

（3）若為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)任意恒成立時(shí)m的最大值為1，求t的取

值范圍．

 

Answer 1

（1）t＝1；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閒 '（x）＝（x－1）（x－t），要使得在（0， 2）上無極值，只有t＝1時(shí)，有f '（x）≥0恒成立；（2）由（1）知t＝1時(shí)，不滿足條件，t≠1時(shí)，因?yàn)閤＝1必定是極值點(diǎn)，對(duì)t的范圍分類探究，找出使得f（1）或f（t）（t∈（0，2）時(shí)）為最大值的t的范圍；（3）分離參數(shù)m，找出使得不等式恒成立的m的范圍（與t相關(guān)），注意m的最大值為1，由此求出t的取值范圍.

試題解析：（1）∵，又在（0， 2）無極值

3分

（2）①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

由得：在時(shí)無解

②當(dāng)時(shí)，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

即

④當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，滿足條件

綜上所述：時(shí)，存在，使得是在[0，2]上的最大值. 8分

（3）若對(duì)任意恒成立

即對(duì)任意恒成立

令， 由于的最大值為1，

則恒成立，否則存在使得

則當(dāng)，時(shí)，不恒成立.

由于，則 10分

當(dāng)時(shí)，，則，若

則在上遞減，在上遞增，

則

在上是遞增的函數(shù)

，滿足條件

的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，最值，范圍，不等式恒成立問題，范圍.