【題目】在直角梯形中,,的中點,如圖沿折到的位置,使,點上,且,如圖2

求證:平面;

求二面角的正切值;

在線段上是否存在點,使平面?若存在,確定的位置,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3 的中點.

【解析】

(法一)

(1)由題意可知,題圖,易證,由根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面;

(2)三垂線法:由考慮在上取一點,使得,從而可得,所以平面,過,連接,為二面角的平面角,在中求解即可;

(3)取中點,所以,又由題意,從而可得,所以有平面.

(法二:空間向量法)

(1)同法一;

(2)以為原點建立直角坐標(biāo)系,易知平面的法向為,求平面的法向量,代入公式求解即可;

(3)由平面,所以,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可求出結(jié)果.

(1)證明:在題圖中,由題意可知,,為正方形

所以在題圖中,,,且四邊形是邊長為的正方形

因為,,所以平面

平面,所以

,所以平面

(2)在上取一點,使,連接

因為,所以

所以平面

,連接

平面

所以

所以為二面角的平面角,

中,,,,

即二面角的正切值為

(3)當(dāng)中點時,平面

理由如下:取的中點,連接

連接

所以,又由題意

平面平面

所以平面

即當(dāng)的中點時,平面

解法二:(1)同方法一

(2)如圖,以A為原點建立直角坐標(biāo)系

,,,

易知平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為,且

,得:

,得:,;則

所以

所以

即二面角的正切值為

設(shè)存在,使得平面

設(shè)

所以,由平面

所以,所以

,即的中點

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