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9.如圖,PA、PC切⊙O于A、C,PBD為⊙O的割線.
(1)求證:AD•BC=AB•DC;
(2)已知PB=2,PA=3,求△ABC與△ACD的面積之比.

分析 (1)證明△PAB∽△PDA,可得PBPA=ABAD,同理可得PBPA=ABAD,問題得以證明,
(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得SABCSADC=PA2PB2,問題得以解決.

解答 證明:(1)∵PA是⊙O的切線,
由弦切角定理得∠PAB=∠ADB,
∵∠APB為△PAB與△PAD的公共角,
∴△PAB∽△PDA,
PBPA=ABAD,
同理PBPC=BCCD
又PA=PC,
ABAD=BCCD,
∴AD•BC=AB•DC;
(2)由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ABC+∠ADC=π,
∴S△ABC=12AB•BC•sin∠ABC,
S△ADC=12AD•DC•sin∠ADC,
SABCSADC=ABBCADDC=AB2AD2=PA2PB2=94

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì),考查圓冪定理,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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