Question

9．如圖，PA、PC切⊙O于A、C，PBD為⊙O的割線．
（1）求證：AD•BC=AB•DC；
（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC與△ACD的面積之比．

Answer 1

分析 （1）證明△PAB∽△PDA，可得$\frac{PB}{PA}$=$\frac{AB}{AD}$，同理可得$\frac{PB}{PA}$=$\frac{AB}{AD}$，問題得以證明，
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{P{A}^{2}}{P{B}^{2}}$，問題得以解決．

解答 證明：（1）∵PA是⊙O的切線，
由弦切角定理得∠PAB=∠ADB，
∵∠APB為△PAB與△PAD的公共角，
∴△PAB∽△PDA，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{AB}{AD}$，
同理$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BC}{CD}$，
又PA=PC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}$，
∴AD•BC=AB•DC；
（2）由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ABC+∠ADC=π，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AB•BC}{AD•DC}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{D}^{2}}$=$\frac{P{A}^{2}}{P{B}^{2}}$=$\frac{9}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查圓冪定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．