Question

已知橢圓C₁過點（

2

2

，1），且其右頂點與橢圓C₂：x²+2y²=4的右焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）設O為原點，若點 A在橢圓C₁上，點B在橢圓C₂上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x²+y²=1的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）橢圓C₂：x²+2y²=4化為

x2

4

+

y2

2

=1，其右焦點為（

2

，0）．可設橢圓C₁的標準方程為

x2

2

+

y2

b2

=1，把點（

2

2

，1）代入上述方程可得：

1

4

+

1

b2

=1，解得b²即可得出．
（II）結論：直線AB與圓x²+y²=1的相切．設原點到直線AB的距離為d，①若OA的斜率不存在，則A(0，±

2

3

)，B（±2，0）．直線AB的方程為

x

±2

+

y

± 2 3

=1，利用點到直線的距離公式求出d，即可判斷出直線AB與圓x²+y²=1位置關系．②若OA的斜率存在，由于OA⊥OB，可設OA：y=kx，OB：ky=-x．分別與橢圓聯(lián)立解出A，B的坐標，得出

1

d2

=

|AB|2

|OA|2|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2|OB|2

=1，即可證明．

解答： 解：（I）橢圓C₂：x²+2y²=4化為

x2

4

+

y2

2

=1，其右焦點為（

2

，0）．
可設橢圓C₁的標準方程為

x2

2

+

y2

b2

=1，
把點（

2

2

，1）代入上述方程可得：

1

4

+

1

b2

=1，解得b²=

4

3

．
∴橢圓C₁的標準方程為

x2

2

+

y2

4 3

=1．

（II）結論：直線AB與圓x²+y²=1的相切．設原點到直線AB的距離為d，
①若OA的斜率不存在，則A(0，±

2

3

)，B（±2，0）．直線AB的方程為

x

±2

+

y

± 2 3

=1，
可得d=

1

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，因此直線AB與圓x²+y²=1的相切．
②若OA的斜率存在，
∵OA⊥OB，可設OA：y=kx，OB：ky=-x．
聯(lián)立

y=kx 2x2+3y2=4

，解得

x

2 A

=

4

2+3k2

，

y

2 A

=

4k2

2+3k2

，
由

ky=-x x2+2y2=4

可得：

y

2 B

=

4

2+k2

，

x

2 B

=

4k2

2+k2

．
∴|OA|²=

x

2 A

+

y

2 A

=

4k2+4

2+3k2

，|OB|²=

x

2 B

+

y

2 B

═

4+4k2

2+k2

．
∴

1

d2

=

|AB|2

|OA|2|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2|OB|2

=

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

2+3k2

4+4k2

+

2+k2

4+4k2

=1，
∴d=1．
綜上可得：直線AB與圓x²+y²=1的相切．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得出交點、直線與圓的相切的判定與性質、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．