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6.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)給出定義:設(shè)f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)g(x)=13x3-12x2+3x-512,則g(12016)+g(22016)+…+g(20152016)+g(20162016)=2017512

分析 由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)(12,1)對(duì)稱,即f(x)+f(1-x)=2,即可得到結(jié)論.

解答 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=x2-x+3,
g″(x)=2x-1,
由g″(x0)=0得2x0-1=0
解得x0=12,而g(12)=1,
故函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(12,1)對(duì)稱,
∴g(x)+g(1-x)=2,
則g(0)=-512,g(1)=2-g(0)=2912,
故設(shè)g(12016)+g(22016)+…+g(20142016)+g(20152016)=m,
則g(20152016)+g(20142016)+…+g(22016)+g(12016)=m,
兩式相加得2×2015=2m,
則m=2015.
則g(12016)+g(22016)+…+g(20152016)+g(20162016)=2015+2912=2017512,
故答案為:2017512

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算,利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵.求和的過程中使用了倒序相加法.

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