Question

若函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)，且f(x)極小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）設(shè)函數(shù)g(x)=

f(x)

x2

，若不等式g(x)•g(2k-x)≥(

1

k

-k)2在（0，2k）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)得到b=d=0；再根據(jù)f(x)極小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

列出關(guān)于a，c的等式，求出a，c的值即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出其導(dǎo)函數(shù)，找到其極值點(diǎn)，畫出函數(shù)的大致圖象；通過討論m和極值點(diǎn)比較即可得到函數(shù)f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）先把所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為F（x）=g（x）•g（2k-x）=

1-4k2

t

+t+2，通過討論1-4k²和0的大小關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合所問問題即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)，則b=d=0，
∴f′（x）=3ax²+c，則

f/(- 3 3 )=a+c=0 f(- 3 3 )=- 3 a 9 - 3 c 3 =- 2 3 9

⇒

a=-1 c=1

故f（x）=-x³+x；…（4分）

（2）∵f′（x）=-3x²+1=-3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是增函數(shù)，在[-

3

3

，

3

3

]上是減函數(shù)，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，
f（x）_max=f（-1）=0；
當(dāng)0≤m＜

3

3

時(shí)，f（x）_max=f（m）=-m³+m，
當(dāng)m≥

3

3

時(shí)，f（x）_max=f（

3

3

）=

2 3

9

．
故f（x）_max=

0                  -1＜m＜0 -m3+m           0≤m＜ 3 3 2 3 9             m≥ 3 3

…（9分）
（3）g（x）=（

1

x

-x），令y=2k-x，則x、y∈R⁺，且2k=x+y≥2

xy

，
又令t=xy，則0＜t≤k²，
故函數(shù)F（x）=g（x）•g（2k-x）=（

1

x

-x）（

1

y

-y）=

1

xy

+xy-

x2+y2

xy

=

1

xy

+xy-

(x+y)2-2xy

xy

=

1-4k2

t

+t+2，t∈（0，k²]
當(dāng)1-4k²≤0時(shí)，F(xiàn)（x）無最小值，不合
當(dāng)1-4k²＞0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，

1-4k2

]上遞減，在[

1-4k2

，+∞）上遞增，
且F（k²）=（

1

k

-k）²，
∴要F（k²）≥（

1

k

-k）²恒成立，
必須

k＞0 1-4k2＞0 k2≤ 1-4k2

⇒

0＜k＜ 1 2 k≤ 5 -2

⇒0＜k＜

5 -2

，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，

5 -2

）]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合考查．