【題目】如圖,三棱柱中,平面平面,.

(1)求證:平面平面

(2)若與平面所成的線面角為,求二面角的余弦值.

【答案】1)詳見解析;(2.

【解析】

1)由平面ACC1A1⊥平面ABC,結合面面垂直的性質可得BCA1C,再由B1C1BC,得A1C⊥平面AB1C1;(2)取AC中點M,連接A1M,由已知可得A1MAC,且,令AA1AC2CB2,則.以C為坐標原點,分別以CA,CB所在直線為x,y軸,過C且平行于A1M 的直線為z軸建立空間直角坐標系.分別求出平面ACB1 與平面A1B1C的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角C1AB1C的余弦值.

1)因為平面平面,平面平面,

平面,,所以平面,

因為平面,所以.

因為,所以.

因為是平行四邊形,且,所以是菱形,.

因為,所以平面.

平面,所以平面平面.

2)取的中點,連接,因為是菱形,

所以是正三角形,所以,且.

,則.

所以以為原點,以所在直線為軸,所在直線為軸,過點且平行于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

,,,,,

,.

設平面的一個法向量為,則,

所以,得,令,則,所以.

由(1)知平面,所以是平面的一個法向量,

所以.

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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質量指標

頻數(shù)

一年內所需維護次數(shù)

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