【題目】如圖,三棱柱中,平面平面,,.
(1)求證:平面平面;
(2)若與平面所成的線面角為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)由平面ACC1A1⊥平面ABC,結合面面垂直的性質可得BC⊥A1C,再由B1C1∥BC,得A1C⊥平面AB1C1;(2)取AC中點M,連接A1M,由已知可得A1M⊥AC,且,令AA1=AC=2CB=2,則.以C為坐標原點,分別以CA,CB所在直線為x,y軸,過C且平行于A1M 的直線為z軸建立空間直角坐標系.分別求出平面ACB1 與平面A1B1C的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值.
(1)因為平面平面,平面平面,
平面,,所以平面,
因為平面,所以.
因為,所以.
因為是平行四邊形,且,所以是菱形,.
因為,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)取的中點,連接,因為是菱形,,
所以是正三角形,所以,且.
令,則.
所以以為原點,以所在直線為軸,所在直線為軸,過點且平行于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則,,,,,,
,.
設平面的一個法向量為,則,
所以,得,令,則,所以.
由(1)知平面,所以是平面的一個法向量,
所以.
所以二面角的余弦值為.
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【題目】過點P(3,﹣4)作圓(x﹣1)2+y2=2的切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為( )
A.x+2y﹣2=0B.x﹣2y﹣1=0C.x﹣2y﹣2=0D.x+2y+2=0
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【題目】在數(shù)列中,,且對任意,都有.
(1)計算,,,由此推測的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明;
(2)若(),求無窮數(shù)列的前項之和與的最大項.
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【題目】伴隨著科技的迅速發(fā)展,國民對“5G”一詞越來越熟悉,“5G”全稱是第五代移動電話行動通信標準,也稱第五代移動通信技術。2017年12月10日,工信部正式對外公布,已向中國電倌、中國移動、中國聯(lián)通發(fā)放了5G系統(tǒng)中低頻率使用許可。2019年2月18日上海虹橋火車站正式啟動5G網(wǎng)絡建設。為了了解某市市民對“5G”的關注情況,通過問卷調查等方式研究市民對該市300萬人口進行統(tǒng)計分析,數(shù)據(jù)分析結果顯示:約60%的市民“掌握一定5G知識(即問卷調查分數(shù)在80分以上)”將這部分市民稱為“5G愛好者”。某機構在“5G愛好者”中隨機抽取了年齡在15-45歲之間的100人按照年齡分布(如圖所示),其分組區(qū)間為:,,,,,.
(1)求頻率直方圖中的a的值;
(2)估計全市居民中35歲以上的“5G愛好者”的人數(shù);
(3)若該市政府制定政策:按照年齡從小到大,選拔45%的“5G愛好者”進行5G的專業(yè)知識深度培養(yǎng),將當選者稱成按照上述政策及頻率分布直方圖,估計該市“5G達人”的年齡上限.
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【題目】已知橢圓的右焦點為F,過點的直線l與E交于A,B兩點.當l過點F時,直線l的斜率為,當l的斜率不存在時,.
(1)求橢圓E的方程.
(2)以AB為直徑的圓是否過定點?若過定點,求出定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線:.
(1)求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)若曲線與交于,兩點,,的中點為,點,求的值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線:.
(1)求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)若曲線與交于,兩點,,的中點為,點,求的值.
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【題目】工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標進行檢測,一共抽取了件產品,并得到如下統(tǒng)計表.該廠生產的產品在一年內所需的維護次數(shù)與指標有關,具體見下表.
質量指標 | |||
頻數(shù) | |||
一年內所需維護次數(shù) |
(1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表,用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產品的質量指標的平均值(保留兩位小數(shù));
(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產品,再從件產品中隨機抽取件產品,求這件產品的指標都在內的概率;
(3)已知該廠產品的維護費用為元/次,工廠現(xiàn)推出一項服務:若消費者在購買該廠產品時每件多加元,該產品即可一年內免費維護一次.將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產品每件都購買該服務,或者每件都不購買該服務,就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用,并以此為決策依據(jù),判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務?
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【題目】橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過坐標原點的直線交橢圓于兩點,在第一象限,軸,垂足為,連接延長交橢圓于點.
①求證:;
②求面積最大值.
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