Question

（2013•寧德模擬）若函數(shù)f（x）對(duì)于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）-f（a）-

f(b)-f(a)

b-a

（x-a）|≤T（T為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上具有“T級(jí)線性逼近”．下列函數(shù)中：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=x²；
③f（x）=

1

x

；
④f（x）=x³．
則在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級(jí)線性逼近”的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)稱函數(shù)f（x）在[a，b]上具有“T級(jí)線性逼近”的定義，判斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是否滿足“

1

4

級(jí)線性逼近”的定義，從而得出結(jié)論．

解答：解：f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|0|≤

1

4

，故f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級(jí)線性逼近”，故滿足條件．
f（x）=x² 在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|（x-1）（x-2）|=-（x-1）（x-2）≤

1

4

，
故f（x）=x²在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級(jí)線性逼近”，故滿足條件．
f（x）=

1

x

在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|

1

x

+

x

2

-

3

2

|=

3

2

-（

1

x

+

x

2

）≤

3

2

-2

1 2

=

3

2

-

2

≤

1

4

，
故f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級(jí)線性逼近”，故滿足條件．
f（x）=x³在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-

f(2)-f(1)

2-1

（x-1）|=|x³-7x+6|=|（x-1）（x-3）（x+2）|=-（x-1）（x-3）（x+2），
由于-（x³-7x+6）的導(dǎo)數(shù)為-3x²+7，令-3x²+7=0 可得 x=

7 3

，在[1，

7 3

]上，3x²-7＜0，-（x-1）（x-3）（x+2）為增函數(shù)，
同理可得在[

7 3

，2]上，-（x-1）（x-3）（x+2）為減函數(shù)，故-（x-1）（x-3）（x+2）的最大值為 （

7 3

-1）（3-

7 3

）（

7 3

+2）＞

1

4

，
故不滿足“

1

4

級(jí)線性逼近”，故不滿足條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義：“T級(jí)線性逼近”的定義，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，式子的變形是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．