Question

3．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x） 為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意b∈B，A中至多有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)；
④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中正確的是②③．（寫出所有正確的編號(hào)）

Answer 1

分析 在①中，舉出反例得到函數(shù)f（x）=x²（x∈R）不是單函數(shù)；在②中，由互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià)判斷正誤；在③中，符合唯一的函數(shù)值對(duì)應(yīng)唯一的自變量；在④中，在某一區(qū)間單調(diào)并不一定在定義域內(nèi)單調(diào)．

解答 解：在①中，函數(shù)f（x）=x²（x∈R），由f（-1）=f（1），但-1≠1，
得到函數(shù)f（x）=x²（x∈R）不是單函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
在②中，“x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）”的逆否命題是“若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂”．
互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià)．故②的逆否命題為真，故②正確；
在③中，符合唯一的函數(shù)值對(duì)應(yīng)唯一的自變量，
∴若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意b∈B，A中至多有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故③正確；
在④中，在某一區(qū)間單調(diào)并不一定在定義域內(nèi)單調(diào)，∴f（x）不一定是單函數(shù)，故④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．