Question

7．已知正項數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且2S_n=a_n²+n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）2S_n=a_n²+n-1（n∈N⁺），可得2a₁=${a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁．n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1），再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=a_n²+n-1（n∈N⁺），∴2a₁=${a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁=2．
n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²+n-1-（${a}_{n-1}^{2}$+n-2），化為：$（{a}_{n}-1）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，
∴（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1-1）=0，a_n+a_n-1=1舍去．
可得a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為2，公差為1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（II）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{n+2}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”方法、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．