Question

上海世博會(huì)于2010年5月1日正式開(kāi)幕，按規(guī)定個(gè)人參觀各場(chǎng)館需預(yù)約，即進(jìn)入園區(qū)后持門(mén)票當(dāng)天預(yù)約，且一張門(mén)票每天最多預(yù)約六個(gè)場(chǎng)館．考慮到實(shí)際情況（排隊(duì)等待時(shí)間等），張華決定參觀甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館．假設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館預(yù)約成功的概率分別是

2

5

 ， 

3

5

 ， 

3

5

 ， 

3

5

，且它們相互獨(dú)立互不影響．
（1）求張華能成功預(yù)約甲、乙、丙、丁中兩個(gè)場(chǎng)館的概率；
（2）用ξ表示能成功預(yù)約場(chǎng)館的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）張華能成功預(yù)約甲、乙、丙、丁中兩個(gè)場(chǎng)館，包括六種情況，這六種情況是互斥的根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式得到概率．
（2）由題意知變量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根據(jù)上一問(wèn)做出了變量等于2的概率，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和期望值．

解答：解：記事件A=“成功預(yù)約甲場(chǎng)館”，B=“成功預(yù)約乙場(chǎng)館”，C=“成功預(yù)約丙場(chǎng)館”，D=“成功預(yù)約丁場(chǎng)館”，則由已知事件A，B，C，D相互獨(dú)立，且它們的對(duì)立事件

.

A

，

.

B

，

.

C

，

.

D

也相互獨(dú)立．
（1）張華能成功預(yù)約甲、乙、丙、丁中兩個(gè)場(chǎng)館的概率為P=P(A•B•

.

C

•

.

D

)+P(A•

.

B

•C•

.

D

)+P(A•

.

B

•

.

C

•D)+P(

.

A

•B•C•

.

D

)+P(

.

A

•B•

.

C

•D)+P(

.

A

•

.

B

•C•D)=

2

5

×

3

5

×(

2

5

)2+

2

5

×

2

5

×

3

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

×

2

5

×

3

5

+

3

5

×

3

5

×

3

5

×

2

5

+

3

5

×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

3

5

×

2

5

×(

3

5

)2=

234

625

．
（2）由題意知變量ξ的可能取值是0，1，2，3，4
由（1）P(ξ=2)=

234

625

，
同（1）可得P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

•

.

D

)=

3

5

×(

2

5

)3=

24

625

，
P（ξ=3）=P(A•B•C•

.

D

)+P(A•B•

.

C

•D)+P(A•

.

B

•C•D)+P(

.

A

•B•C•D)=

2

5

×(

3

5

)2×

2

5

+

2

5

×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

2

5

×

2

5

×(

3

5

)2+(

3

5

)4=

189

625

P（ξ=4）=P(A•B•C•D)=

2

5

×(

3

5

)3=

54

625

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)-P(ξ=4)=

124

625

，
∴分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	24 625	124 625	234 625	189 625	54 625

∴Eξ=0×

24

625

+1×

124

625

+2×

234

625

+3×

189

625

+4×

54

625

=

11

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是條件中所給的情況比較多，需要認(rèn)真計(jì)算才不會(huì)在數(shù)字運(yùn)算上出錯(cuò)．