已知關于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件

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解析:

.證明： (1）（充分性)由韋達定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4

設f(x)=x2+ax+b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0

即有4+b>2a>－(4+b)又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實根∵α，β是方程f(x)=0的實根，∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜2

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的實系數(shù)一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則M=
a+3b+4c
b-a
的最小值是
2
5
+5
2
5
+5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的實系數(shù)一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則M=
a+2b+4cb-a
的最小值是
8
8
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的二根為x1，x2，且滿足關系(1-3bi)i=c-
bi
（i為虛數(shù)單位）．
（1）求b，c的值；（2）求方程的二根x1，x2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•長寧區(qū)二模）已知關于x的實系數(shù)一元二次方程x2-|z|x+1=0（z∈C）有實數(shù)根，則|z-1+i|的最小值為
2-
2
2-
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省常州高級中學高三（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

已知關于x的實系數(shù)一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則的最小值是    ．

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